阶段方法技巧训练（一） 专训3 几何计数的四种 常用方法 习题课 1．对于几何中的计数问题，掌握一定的方法能够让我 们准确、高效地得出结果，常见的计数方法有：按 顺序计数、按画图计数、按基本图形计数、按从特 殊到一般的思想方法计数． 2．计数的原则是不重复、不遗漏． 1 方法 按顺序计数问题 1．(1)如图①，直线l上有2个点，则图中有2条可用图中字 母表示的射线，有1条线段； (2)如图②，直线l上有3个点，则图中有________条可用 图中字母表示的射线，有________条线段； (3)如图③，直线l上有n个点，则图中有________条可用 图中字母表示的射线，有__________条线段； (4)应用(3)中发现的规律解决问题：某校七年级共有6个 班进行足球比赛，准备进行循环赛(即每两队之间赛 一场)，预计全部赛完共需________场比赛． 4 3 2n－2 15 2．请你画图说明同一平面内的4条直线的位置关系， 它们分别有几个交点？ 2 方法 按画图计数问题 图①有0个交点，图②有1个交点，图③、图④有3个交点，图⑤、图⑥有4个交点，图⑦有5个交点，图⑧有6个交点． 解： 3．平面内有10条直线，无任何三线共点，要使它们恰 好有31个交点，请你画出示意图. 如图所示． 解： 4．如图，一组互相平行的直线有6条，它们和两条平行线 a，b都相交，构成若干个“#”形，则此图中共有多少个 “#”形？ 3 按基数图形计数问题 方法 以一个“#”形为基本图形的有5个，以两个 “#”形为基本图形的有4个，以三个“#”形 为基本图形的有3个，以四个“#”形为基本图形的有2个，以五个“#”形为基本图形的有1个，所以共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)． 解： 5．观察如图所示的图形，寻找对顶角(不含平角)． (1)两条直线相交于一点，如图①，共有_____对对顶角； (2)三条直线相交于一点，如图②，共有_____对对顶角； (3)四条直线相交于一点，如图③，共有_____对对顶角； (4)根据以上结果探究：当n条直线相交于一点时，所构 成的对顶角有__________对； 5 利用“内错角相等，两直线平行” 方法 2 6 12 n(n－1) 当2 016条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数为2 016×(2 016－1)＝2 016×2 015＝4 062 240. 解： (5)根据探究结果，求2 016条直线相交于一点时，所构 成的对顶角的对数． 本题运用了从特殊到一般的思想，前三题可以直接数出对顶角的对数．根据前三题中的结果，探究出一般规律，再运用规律来解决最后一个问题． 方法规律： 6．平面内n条直线最多将平面分成多少个部分？ 首先画图如下，列表如下： 解： 直线条数 1 2 3 4 … 平面最多被分成的部分个数 2 4 7 11 … 当n＝1时，平面被分成2个部分； 当n＝2时，增加2个，最多将平面分成2＋2＝4(个)部分； 当n＝3时，增加3个，最多将平面分成2＋2＋3＝7(个)部分； 当n＝4时，增加4个，最多将平面分成2＋2＋3＋4＝11(个)部分；…； 所以当有n条直线时，最多将平面分成2＋2＋3＋4＋…＋n＝ 1＋1＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋ (个)部分．